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Exemple de dual en dimension infinie

Tout d`abord, lorsque V n`est pas localement convexe, la double continue peut être égale à {0} et la carte Ψ trivial. Cette double base est un ensemble {E1,. Si le double d`un espace normed V est séparable, alors l`espace V lui-même. Dans ce cas, certains espaces sont topologiques-vector-space isomorphes à leurs doubles duals, et d`autres pas, comme le montre la publicité dans sa réponse. Cela dépend de ce que vous entendez par la question. Le f ∗ (φ) fonctionnel résultant en V ∗ est appelé le recul de φ le long de f. Cela implique que les espaces vectoriels de grandes dimensions sont des duals IFF leur dimension (et donc leur taille) est une puissance de 2. Voir le théorème de représentation de Riesz pour plus d`exemples de l`analyse fonctionnelle. Si le Rig KK est une algèbre sur une autre plate-forme LL, alors tout KK-module VV est aussi un module LL, mais le Dual comme un KK-module est différent de la double comme un LL-module. Notez qu`on peut identifier (f ∗) ∗ avec f en utilisant l`injection naturelle dans le double Dual. Le double algébrique sur un espace dimensionnel infini est strictement plus grand. Il existe un homomorphisme naturel Ψ {displaystyle Psi} de V {displaystyle V} dans le double V ∗ ∗ = {Φ: V ∗ → F: Φ l i n e a r} {displaystyle V ^ {* *} = {Phi: V ^ {*} To F:Phi mathrm {Linear} }}, défini par (Ψ (v)) (φ) = φ (v) {displaystyle (Psi (v )) (varphi) = varphi (v)} pour tous v, φ, v ∗ {displaystyle vin V, varphi in V ^ {*}}.

Alternativement, comme f est représenté par A agissant sur la gauche sur les vecteurs de colonne, f ∗ est représenté par la même matrice agissant sur les vecteurs de droite sur les lignes. Par le théorème de représentation de Riesz, le duel continu d`un espace de Hilbert est à nouveau un espace de Hilbert qui est anti-isomorphe à l`espace original. Notez que $ mathbb{R} ^ {(mathbb{R})} $ est isomorphe à la double de $ mathbb{R} ^ {(mathbb{N})} $. Par la formule utile, l`identité $ operatorname{Card} V = operatorname{dim}_K V $ équivaut à $ operatorname{Card} K leqslant operatorname{Dim}_K V $. Chacun de ces trois choix de topologie sur V ′ {displaystyle V`} conduit à une variante de la propriété de réflexivité pour les espaces vectoriels topologiques. L`espace VV est appelé réflexive si cette transformation naturelle est un isomorphisme. Inversement, compte tenu d`un élément a = (an), la fonction linéaire continue correspondante φ sur l p est définie par φ (b) = ∑ n AnBn pour tous les b = (BN) (voir inégalité de Hölder). L`algèbre de Neumann (ABSTRACTLY) est précisément un C * C ^ *-algèbre dont l`espace sous-jacent de Banach est le double espace de certains (autre) espace Banach. Cette identité caractérise la transposition [9] et est formellement similaire à la définition de l`adjoint. Il existe une construction standard pour l`introduction d`une topologie sur le double V ′ {displaystyle V`} d`un espace vectoriel topologique V {displaystyle V}. Let $ kappa = operatorname{Card} K $ et $ lambda = dim_K V $, et supposons $ kappa leqslant lambda $. Ainsi il y a une correspondance un-à-un entre les isomorphismes de V aux sous-espaces de (resp.

Cette double base est un ensemble ({textbf{e} ^ * _1, dots, textbf{e} ^ * _ n } ) de fonctionnals linéaires sur (V ), défini par les relations: [mathbf{e} ^ * _ i (mathbf{e}_J) = delta ^ {i} _ {j} mbox{for} 1 leqslant i leqslant n, 1 leqslant j leqslant n ] où (delta ^ {i} _ {j} ) est le Symbole Delta Kronecker. Lorsque T est une carte linéaire continue entre deux espaces vectoriels topologiques V et W, alors la transposition T ′ est continue lorsque W ′ et V ′ sont équipés de topologies « compatibles »: par exemple lorsque, pour X = V et X = W, les deux duals X ′ ont la forte topologie β (X ′ , X) de convergence uniforme sur les ensembles limités de X, ou les deux ont la topologie faible-∗ σ (X ′, X) de convergence pointwise sur X.

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